要证明函数 $y = \frac{x}{1+x}$ 在区间 $(-1, +\infty)$ 上是单调增加的，我们有几种常用的方法。

以下是三种证明方法，按从最直观到最严谨的顺序排列：

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方法一：分离常数法 (最直观简便)

这种方法通过代数变形，将变量分离，从而能够直接看出函数的单调性。

1. 函数变形： 我们可以将分子上的 $x$ 写成 $(x+1)-1$：

   $y = \frac{x}{1+x} = \frac{(x+1)-1}{1+x}$

2. 拆分分数：

   $y = \frac{x+1}{1+x} - \frac{1}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}$

3. 单调性分析：

   • 当 $x$ 在 $(-1, +\infty)$ 上增加时，分母 $(1+x)$ 随之增加（且恒大于0）。
   • 因此，倒数 $\frac{1}{1+x}$ 会减小。
   • 加上负号后，$-\frac{1}{1+x}$ 会增加。
   • 常数 $1$ 不影响单调性。

结论： 所以，整个函数 $y = 1 - \frac{1}{1+x}$ 随着 $x$ 的增大而增大，即在 $(-1, +\infty)$ 上单调增加。

[Image of graph of y=x/(1+x)]

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方法二：导数法 (最标准通用)

如果这是一个微积分题目，使用求导法是最标准的证明方式。

1. 求导数 $y'$： 根据商的求导法则 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$，设 $u=x$, $v=1+x$：

   $y' = \frac{(x)'(1+x) - x(1+x)'}{(1+x)^2}$

   $y' = \frac{1\cdot(1+x) - x\cdot(1)}{(1+x)^2}$

   $y' = \frac{1+x-x}{(1+x)^2}$

   $y' = \frac{1}{(1+x)^2}$

2. 判断导数符号：

   • 在区间 $(-1, +\infty)$ 上，分母 $(1+x)^2$ 恒大于 $0$（因为 $x \neq -1$）。
   • 分子 $1$ 恒大于 $0$。
   • 因此，导数 $y' > 0$ 对任意 $x \in (-1, +\infty)$ 恒成立。

结论： 因为一阶导数恒大于0，所以函数在该区间内是单调增加的。

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方法三：定义法 (最基础)

这种方法不需要求导，通过比较任意两个 $x$ 值对应的函数值来证明。

1. 设定变量： 设任意 $x_1, x_2 \in (-1, +\infty)$，且 $x_1 < x_2$。

2. 作差比较： 计算 $f(x_2) - f(x_1)$：

   $f(x_2) - f(x_1) = \frac{x_2}{1+x_2} - \frac{x_1}{1+x_1}$

3. 通分化简：

   $= \frac{x_2(1+x_1) - x_1(1+x_2)}{(1+x_1)(1+x_2)}$

   $= \frac{x_2 + x_1x_2 - x_1 - x_1x_2}{(1+x_1)(1+x_2)}$

   $= \frac{x_2 - x_1}{(1+x_1)(1+x_2)}$

4. 判断符号：

   • 分子： 因为我们假设 $x_1 < x_2$，所以 $x_2 - x_1 > 0$。
   • 分母： 因为 $x_1 > -1$ 且 $x_2 > -1$，所以 $(1+x_1) > 0$ 且 $(1+x_2) > 0$。分母恒为正。

结论： 因为 $f(x_2) - f(x_1) > 0$，即 $f(x_2) > f(x_1)$，所以函数在 $(-1, +\infty)$ 上单调增加。

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总结 无论使用哪种方法，都可以严格证明函数 $y=\frac{x}{1+x}$ 在区间 $(-1, +\infty)$ 上是单调递增的。分离常数法通常是最快看出结果的方法。

您希望我帮您计算这个函数的值域，或者分析它的凹凸性吗？