抽象函数的定义域问题，是高中数学里典型的“纸老虎”——看起来很晕，其实只要掌握一个核心原则，比解不等式还简单。
核心原则只有一句话：
“同一个 f，括号里的范围永远不变。”
下面我把这类题分成两种最常见的类型，手把手教你解。
🟢 核心概念区分 (必看)
在做题前，必须搞清楚两个概念的区别，否则一定会被绕晕：
- 定义域： 指的是 x 的取值范围。（题目问“定义域”就是求 x 在哪）。
- 管辖范围（括号里的范围）： 指的是 f(\dots) 那个括号里整体能接受的数值区间。
铁律： 不管括号里的东西怎么变（是 x 还是 2x+1），f 这个函数能接受的“管辖范围”是永远固定的。
类型一：已知 f(x)，求 f(g(x))
口诀： 把新括号里的东西，塞进旧范围。
例题 1：
已知函数 f(x) 的定义域是 [1,5]，求函数 f(2x−1) 的定义域。
解题步骤：
找“管辖范围”：
原函数是 f(x)，定义域是 [1,5]。
这意味着：括号里的东西必须在 1 到 5 之间。
即：1 \le \text{括号里的整体} \le 5。
套用新函数：
现在函数变成了 f(2x−1)。根据铁律，括号里的 2x−1 也必须遵守这个规矩。
1≤2x−1≤5
解不等式求 x：
1+1≤2x≤5+1
2≤2x≤6
1≤x≤3
答案： f(2x−1) 的定义域是 [1,3]。
类型二：已知 f(g(x))，求 f(x)
口诀： 算出旧括号的范围，那就是 f(x) 的范围。
例题 2：
已知函数 f(x+2) 的定义域是 [−1,2]，求 f(x) 的定义域。
⚠️ 高能预警： 这里的 [−1,2] 是 x 的范围，不是括号的范围！
解题步骤：
分析已知条件：
题目说 f(x+2) 的定义域是 [−1,2]。
意思就是：x 的取值范围是 −1≤x≤2。
算出“管辖范围”：
既然 x 在 −1 到 2 之间，那么括号里的整体 (x+2) 在什么范围呢？
(−1)+2≤x+2≤2+2
1≤x+2≤4
这说明：函数 f 的管辖范围就是 [1,4]。
还原 f(x)：
题目问 f(x) 的定义域。对于 f(x) 来说，括号里就是 x。
所以 x 必须在管辖范围 [1,4] 内。
答案： f(x) 的定义域是 [1,4]。
类型三：已知 f(g(x))，求 f(h(x)) (终极BOSS)
这是把上面两步连起来：先算出管辖范围，再把新式子塞进去。
例题 3：
已知 f(x+1) 的定义域是 [−2,3]，求 f(2x) 的定义域。
解题步骤：
第一步：通过已知条件找“管辖范围”
第二步：解新函数的 x
答案： [−21,2]
📝 总结表（建议截图）
| 题目类型 | 已知条件 | 求解思路 | 核心动作 |
|---|
| 正向 | 已知 f(x) 的范围 [A,B] | 求 f(g(x)) | 列不等式： A≤g(x)≤B |
| 逆向 | 已知 f(g(x)) 的定义域 [m,n] | 求 f(x) | 算值域： 用 x 的范围算出 g(x) 的范围 |
| 换元 | 已知 f(g(x)) | 求 f(h(x)) | 两步走： 先算 g(x) 范围，再令 A≤h(x)≤B |
最容易错的地方：
千万别看到“f(x+1) 的定义域是 [1,2]”，就以为 1≤x+1≤2。
记住：定义域永远指的是单独那个 x 的范围！